杨爱峰 鲍琪 任少彤 张修磊
摘 要：为研究顾客在押金制度下参考质量/价格对制造商定价决策的影响，构建了以制造商利润最大化为目标的产品定价模型。运用斯坦伯格博弈理论和最优化方法求出产品最优定价，通过解析方法和数值分析方法分别进行了灵敏度分析及模型比较。结果表明，参考价格/质量效应下再制造品的接受程度、产品的耐用性及押金等参数影响了制造商的最优利润，决定了制造商是否采用押金制度；
制造商利润随着参考质量效应程度的增加而减少，随着参考价格效应程度的增加而增加；
合理使用押金制度下参考价格效应可使制造商达到更高的期望利润。
关键词：以旧换新；
以旧换再；
质量效应；
价格效应；
押金制度
中图分类号：F272 文献标志码：A DOI：10.13714/j.cnki.1002-3100.2024.13.002
Abstract：
To investigate the effect of customers" reference quality/price on the manufacturer"s pricing decisions in a deposit-based system， a product pricing model was developed with the goal of maximizing the manufacturer"s profit. The optimal product pricing was obtained by using Stackelberg game theory and optimization methods， and sensitivity analysis and model comparisons were conducted through analytical and numerical approaches. The results show that the acceptance of remanufactured products， product durability， and deposit parameters under the reference price/quality effect affect the manufacturer"s optimal profit， and determine whether the manufacturer adopts a deposit-based system. Manufacturer profit decreases as the degree of reference quality effect increases， and increases as the degree of reference price effect increases. The rational use of reference price effect in a deposit-based system can enable the manufacturer to achieve higher expected profit.
Key words：
trade-in old for new; trade in old for remanufactured; quality effect; price effect; deposit system
0 引 言
随着产品更新换代的速度加快和产品生命周期的缩短，导致大量废旧产品的产生，以及资源的耗竭和环境的恶化。再制造作为循环经济和绿色制造业的重要组成部分，已经受到社会、政府、制造商及消费者的广泛关注。为了提高自身销量和利润，许多制造商试图通过给予以旧换新的补贴来加快产品的销售以增加利润。其中，苹果公司的焕新计划和卡特彼勒公司的押金制度就是此类著名的案例。另外，质量和价格是消费者购物过程中考虑的重要因素，参考质量/参考价格是指顾客以过往经验和对过去产品观察形成的心理预期下，对产品的质量水平/价格水平进行比较，从而决策是否购买。比如，消费者在购买新产品或再制造品、以旧换新/以旧换再时，经常会将再制造品的质量水平和价格水平与新产品进行比较，从而进行购买决策，这种参考价格效应/参考质量效应能帮助消费者更加理性地选择符合自己需求和预期的商品。
近几年来，不少国内外学者针对以旧换新/再策略进行了深入的研究，在以旧换新/再的不同定价策略、回收渠道的选择以及不同补贴与奖惩机制等方面取得丰硕成果。Debol[1]研究了在顾客对新/再产品有不同偏好的情况下，单一垄断制造商是否决定引入再制造品，分析了新/再产品的产品定价策略和平台选择问题；
Xiao等[2]在闭环供应链系统的基础上，证明发现顾客的购买行为会受到不同产品设置和以旧换新补贴的影响。在此基础上，研究了不同影响因素下的产品最优定价策略以及回收策略；
Savaskan等[3]探讨了政府补贴和产品售价限制对以旧换新/再策略的影响；
Chen[4]证明了制造商是否提供以旧换新/再策略是根据顾客购买行为基础下完成的，分析制造商通过结合产品的差异特点，对产品市场细分的以旧换新/再策略和产品定价策略的研究；
Ｒay等[5]假设新/再产品质量无差异时，在两阶段动态博弈模型下，分析产品价格、耐用性等有关的三种不同因素导致顾客不同购买需求，研究了制造商利润最大化的价格策略。
以上文献忽略了参考价格/参考质量对需求的影响。Popescu等[6]研究了垄断制造商在参考价格时顾客需求敏感的最优定价策略；
Wu等[7]探讨了零售商面对顾客在参考价格时的最优定价策略和其库存策略；
Miraldo[8]研究了在参考价格时公司在顾客差异化模型中的定价策略；
Zhang等[9]分析了基于参考价格下制造商的定价策略，并讨论了广告策略是否会对供应链协调和定价产生影响；
Guler等[10]探讨了在参考价格下供应链中的联合库存策略和最优定价；
Xu等[11]比较了制造商回收、零售商回收、第三方回收的三种不同模式下，参考价格对最优定价的影响；
Dye和Yang等[12]介绍了退化产品在参考价格时的最优定价；
Hong[13]在2018年研究了参考价格下的绿色产品最优定价策略，Wang等[14]在2019年进一步研究了两阶段绿色供应链条件下绿色产品在考虑参考价格时的价格策略。Gavious等[15]探讨了在参考价格/质量效应之间抉择对总体利润的影响和策略选择；
Liu等[16]考虑了动态供应链中参考质量的动态定价策略。Peng等[17]研究了以旧换再的情况下，参考质量/价格效应对最优定价和利润的影响。
通过对已有文献的梳理，单独考虑参考价格/参考质量以及以旧换新/再的定价策略已取得一定的成果，本文根据顾客需求分为新顾客和老顾客，新顾客买新/再产品，老顾客以旧换新/再或继续使用旧产品，在考虑顾客参考质量/价格效应的产品定价策略的基础上，进一步比较了考虑押金制度对顾客参考质量/价格效应的产品定价策略的影响。本文以制造商利润最大化为目标，构建了一个以产品价格为决策变量的数学模型。运用斯坦伯格理论和最优化方法求解了四种条件下的产品最优定价，通过解析法和数值算例进行了灵敏度分析和模型比较。
1 模型假设及符号说明
本文假设产品处于成熟期，借鉴参考文献[17]，顾客在购买新/再产品或以旧换新/再时，会将再制造品的质量/价格和新产品进行对比，假设顾客参考质量/价格效应参数分别为γ0<γ<1和δ0<δ<1。
假设顾客对新产品的估值为θ，顾客是异质的且对新产品的估价θ在0，1上均匀分布。顾客对旧产品的估价为βθ，其中β0<β<1 表示产品耐用性，反映旧产品的保留价值。顾客对再制造品的估价是αθ，其中α0<α<1表示顾客对再制造品的接受度，顾客环保意识越大则α越大。进一步假设0<β<α<1，这表明顾客通常认为再制造品不如新产品，但好于旧产品。
押金制度下顾客以旧换新/再时，不区分前一阶段购买的是新产品还是再制造品。新顾客购买时除了需要支付零售价格还需要支付押金B，而老顾客以旧换新/再时享受押金折扣aB。在无押金情况下，假设制造商对以旧换新/再的顾客补贴p。进一步假设0
2 模型的构建与求解
2.1 无押金制度下考虑参考质量的产品定价策略
新顾客可以选择购买新产品或再产品，其效用分别是u=θ-p和u=αθ-p-δθ-αθ。当u>u且u>0，可得新顾客购买新产品的需求d=1-；
当u>u且u>0，可得新顾客购买再制造品的需求d=
-。老顾客可以选择以旧换新/再或继续使用旧产品，其效用分别是u=θ-p+p、u=αθ-p+p-δθ-αθ和u=βθ，当u>maxu，u，可得老顾客以旧换新的需求d=1-，当u 制造商目标是利润最大化，则制造商的目标函数为：π=p-c-p+sd+p-c-p+sd+p-cd+p-cd。 命题1：在无押金制度下考虑参考质量时，当0≤δ≤时，制造商的最优定价为：p=+，p=+。 证明：采用逆推法对模型求解，关于目标函数对p和p求偏导得：=，=++。 进一步求得其Hessian矩阵为：H==。 当0≤δ≤时，由于0<β<α<1，可知H=->0且-<0。即Hessian矩阵负定，π是凸函数，所以π有极大值。联解=0和=0得最优解为p，p。 2.2 无押金制度下考虑参考价格的产品定价策略 本节与2.1节不同的是，在参考价格的情况下，探讨新产品和再制造品竞争策略。因此，新顾客购买一个新/再产品，其效用分别是u=θ-p和u=αθ-p+γp-p，老顾客以旧换新/再或使用旧产品，其效用分别是u=αθ-p+p+γp-p、u=θ-p+p和u=βθ。运用2.1节同样方法可得d=1-，d=-，d=1-，d =-。 同理，制造商的目标函数为：π=p-c-p+sd+p-c-p+sd+p-cd+p-cd。 命题2：在参考价格考的情况下，当0≤γ≤时，最优解为： p= p= 2.3 押金制度下考虑参考质量的产品定价策略 本节将考虑押金制度，与无押金时补贴p不同的是，新顾客买新/再产品时要减去押金B的效用； -， d=1-，d=-。 加入押金B后制造商的目标函数为：π=p-c+s-aBd+p-c+s-aBd+p-c+Bd+p-c+Bd。 命题3：在参考质量的情况下，当0≤δ≤时，最优解为：p=+，p= +。 2.4 押金制度下考虑参考价格的产品定价策略 同理，新顾客购买一个新/再产品，其效用分别是u=θ-p-B和u=αθ-p+γp-p-B，老顾客以旧换新/再或使用旧产品，其效用分别是u=θ-p+aB、u=αθ-p+aB+γp-p和u=βθ，需求分别为：d=1-，d=-， d=1-，d=-。 制造商的目标函数为：π=p-c+s-aBd+p-c+s-aBd+p-c+Bd+p-c+Bd。 命题4：在参考价格的情况下，当0≤γ≤时，最优解为： p= p= 以上命题2～4的求证证明思路与命题1相似，在此不再赘述。 3 模型比较与分析 3.1 解析方法分析 由上述4个命题中最优解的表达式，可得生产成本c、再制造品成本c、补贴p、押金B这4个参数对产品价格和需求的影响，易得推论。 推论1：（1）产品最优定价和需求随着新产品成本c、再制造品成本c补贴p、押金B的灵敏度分析趋势如表2所示，表2中↑表示随着参数的增加而增加，↓表示随着参数的增加而减小，-表示与参数无关。（2）有押金的条件下产品零售价格和需求随着新产品成本c、c、p和B的灵敏度变化与无押金制度下完全一致。 推论2：参考质量时，产品零售价格p、p分别随着产品成本c、c的增加而增加； 推论2表明p、p分别随着c、c的增加而增加，这符合产品定价会随成本增加而增加的规律； 参考质量与参考价格会带来不同的影响。参考质量为-δθ-αθ，参考价格为γp-p，在参考质量的销售策略下，顾客往往更看重产品的质量和性能，对价格的敏感程度相对较低。因此，即使在押金B升高时，制造商也可能会通过降低产品的价格p和p来吸引顾客购买，以提高制造商的利润。在这种情况下，押金制度对制造商利润的提升作用可能相对较小。而在参考价格的销售策略下，顾客对价格更加敏感，因此押金B高又意味着顾客需要支付更高的成本。然而，在这种情况下，押金制度可以吸引更多的顾客需求，从而提高制造商的利润。此外，押金制度还可以保障部分顾客进行以旧换新/再的市场需求，增加制造商的利润。 3.2 数值算例灵敏度分析 由于最优利润的解析表达式比较复杂，本节将通过灵敏度分析补贴p、押金B、质量参考效用δ、价格参考效用γ这4个参数对制造商最优利润的影响。 （1）补贴p对制造商最优利润的影响如图1所示，参数如下：β=0.3，α=0.65，γ=0.4，δ=0.5，c=0.5，s=0.28，B=0.03，a=10，c=0.2，p=0.1∶0.01∶0.9。 从图1可以看出，补贴对押金制度下的制造商最优利润无影响。在无押金制度下，随着补贴p逐渐升高，制造商的最优利润会先增加后减少。随着补贴p的提高，老顾客会更多选择以旧换新或以旧换再，从而增加了制造商的利润。当补贴p继续升高时，制造商需要支付更多的补贴来吸引顾客，导致制造商的成本增加。另外，从图1中还可以发现，押金对于制造商的利润并不总是更有利。制造商必须基于市场和成本的考虑，制定灵活的押金策略，综合考虑产品成本和顾客要求等因素，以实现制造商的最优利润。 （2）押金B对生厂商最优利润的影响如图2所示，参数如下：β=0.3，α=0.65，γ=0.4，δ=0.5，c=0.5，s=0.28，p=0.3，a =10，c=0.2，B=0.05∶0.01∶0.3。 从图2中可以看出，有押金制度下，随着押金B的升高，制造商的利润持续减少。押金对参考质量情况影响更加显著，对于押金制度下参考质量时的策略，押金等于降低了一部分价格。由于该类的顾客可能会对产品价格非常敏感，因此即使制造商设定的押金价格高于一定程度，产品的需求仍然会受到影响，导致制造商最终利润降低。因此，押金对参考质量情况下的策略影响很显著，此时制造商的产品定价策略应格外谨慎。 （3）参考质量δ对生厂商最优利润的影响如图3所示，参数如下：β=0.3，α=0.65，γ=0.4，B=0.03，c=0.5，s=0.28，p =0.1，a=5，c=0.2，δ=0.1∶0.01∶0.8。 从图3中可以得出，参考质量δ的增加会促使顾客减少需求，从而降低制造商的利润，同时押金制度保障了一部分顾客需求，需求增加导致制造商的利润增加。因此，在参考质量的策略下，押金制度对制造商利润的影响相对较大，通过押金制度，制造商可以更有效地减少因参考质量δ变化所带来的市场风险。 （4）参考价格γ对生厂商最优利润的影响如图4所示，参数如下：β=0.3，α=0.65，δ=0.5，B=0.03，c=0.5，s=0.28，p =0.1，a=5，c=0.2，γ=0.1∶0.01∶0.9。 从图4中可以看出，当参考价格γ较小时，押金情况下利润更大，押金可以吸引顾客购买从而提高制造商的利润。然而，当参考价格γ超过一定的限度时，无押金情况下利润更大，这是因为补贴成本大于通过押金吸引顾客提高利润所带来的效益。因此，制造商应该综合考虑实际市场情况和资源状况，灵活地结合押金和参考价格，以实现最优利润。 4 结束语 本文假设产品处于成熟期，构建了有/无押金制度下参考质量/价格效应的四种模型，以制造商利润最大化为目标，构建了以产品价格为决策变量的数学模型，通过解析和数值算例法求解不同参数对最优定价和利润的影响。本文主要研究结论如下： （1）当参考质量时，新产品定价为p，再制造品定价为p（命题1）； （2）产品价格p和p随着补贴p增加而增加。参考质量时，产品价格p和p随着押金B的增加而减少，但参考价格时，随着押金B的增加而增加。 （3）在顾客对价格更加敏感的情况下（即参考质量时），押金策略可能更具有优势。此外，押金制度只在一定程度上增加制造商利润，因此对于制造商而言，应当根据市场需求和产品特性选择适当的产品定价策略和押金制度，以实现最优利润。 本文存在一定的局限性，还可以从以下几个方面拓展：（1）本文仅考虑在垄断市场环境下实施的以旧换新/再策略。（2）本文仅考虑成熟期内质量和价格的参考效用，暂未比较两阶段条件下的质量和价格的参考效用策略。（3）本文仅考虑了制造商和顾客之间的关系，没有考虑政府补贴以及环境效益。（4）本文暂未比较同时存在质量和价格作为参考效用的策略。 参考文献： [1] DEBOL G， TOKTAY L B， WASSENHOVE L N V. 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老顾客以旧换新/再时要加上押金的影响aB。因此，新顾客购买一个新/再产品，其效用分别是u=θ-p和u=αθ-p-δθ-αθ-B，老顾客以旧换新/再或使用旧产品，其效用分别是u=θ-p+aB、u=αθ-p+aB-δθ-αθ和u=βθ，其需求分别为：d=1-，d=
产品价格p和p随着以旧换新/再的补贴p的增加而增加，随着押金B的增加而降低。参考价格时，产品价格p和p随着新产品成本c、再制造品成本c、以旧换新/再的补贴p、押金B的增加而增加。
新产品价格p升高，其新产品需求d和以旧换新d的需求随之降低，部分顾客需求转移到再制造品市场，所以再制造品的需求d和以旧换再的需求d升高。同理，再制造品价格p升高，其再制造品需求d和d降低，新产品需求d和d升高。
当参考价格时，新产品定价为p，再制造品定价为p（命题2）；
押金制度下参考质量时，新产品定价为p，再制造品定价为p（命题3）；
押金制度下参考价格时，新产品定价为p，再制造品定价为p（命题4）。
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